পুণৰালোচনা (Revision)
প্ৰথম খণ্ড: সংখ্যা প্ৰণালী (Number System)
স্বাভাৱিক সংখ্যা (Natural Number)
গণনাৰে আৰম্ভ হোৱা সংখ্যা মালাৰ নাম গণনা সংখ্যা (গণনাৰ পৰা হোৱা বাবে), স্বাভাৱিক বা প্ৰাকৃতিক সংখ্যা।
সেইবোৰ হ'ল \(1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots, 100\) ইয়াক এইদৰেও লিখিব পাৰি: আৰম্ভণি \(1\) ৰে কিন্তু শেষ নাই। \( (1, 2, 3, 4, 5, \ldots) \)
পূৰ্ণ সংখ্যা (Whole Number)
স্বাভাৱিক সংখ্যাই \(0\) ক সামৰি লৈ নতুন নাম ল'লে পূৰ্ণ সংখ্যা। বান্ধোনত পূৰ্ণ সংখ্যাবোৰ হৈছে \( (0, 1, 2, 3, \ldots) \)
অখণ্ড সংখ্যা (Integer)
স্বাভাৱিক সংখ্যা \(1, 2, 3, \ldots\) ৰ লগতে \(-1, -2, -3, \ldots\) আৰু \(0\) (শূন্য) ক সামৰি পোৱা সংখ্যাবোৰেই হ'ল অখণ্ড সংখ্যা।
পৰিমেয় সংখ্যা (Rational Number)
যিবোৰ সংখ্যাক \( \dfrac{p}{q} \) (য'ত \(p, q\) অখণ্ড সংখ্যা, কিন্তু \(q \neq 0\)) আকাৰত লিখিব পাৰি সিহঁতবোৰক পৰিমেয় সংখ্যা বোলা হয়।
অপৰিমেয় সংখ্যা (Irrational Number)
যিবোৰ সংখ্যাক \( \dfrac{p}{q} \) (য'ত \(p, q\) অখণ্ড সংখ্যা, কিন্তু \(q \neq 0\)) আকাৰত লিখিব নোৱাৰি সিহঁতবোৰক অপৰিমেয় সংখ্যা বোলা হয়।
বাস্তৱ সংখ্যা (Real Number)
পৰিমেয় সংখ্যা আৰু অপৰিমেয় সংখ্যাক একেলগে বাস্তৱ সংখ্যা বোলে।
- সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা কিন্তু সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাই স্বাভাৱিক সংখ্যা নহয়।
- সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাই অখণ্ড সংখ্যা কিন্তু সকলো অখণ্ড সংখ্যাই স্বাভাৱিক সংখ্যা নহয়।
- সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাই পৰিমেয় সংখ্যা কিন্তু সকলো পৰিমেয় সংখ্যাই স্বাভাৱিক সংখ্যা নহয়।
- সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাই বাস্তৱ সংখ্যা কিন্তু সকলো বাস্তৱ সংখ্যাই স্বাভাৱিক সংখ্যা নহয়।
- সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাই অখণ্ড সংখ্যা কিন্তু সকলো অখণ্ড সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়।
- সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাই পৰিমেয় সংখ্যা কিন্তু সকলো পৰিমেয় সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়।
- সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাই বাস্তৱ সংখ্যা কিন্তু সকলো বাস্তৱ সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়।
- সকলো অখণ্ড সংখ্যাই পৰিমেয় সংখ্যা কিন্তু সকলো পৰিমেয় সংখ্যাই অখণ্ড সংখ্যা নহয়।
- সকলো অখণ্ড সংখ্যাই বাস্তৱ সংখ্যা কিন্তু সকলো বাস্তৱ সংখ্যাই অখণ্ড সংখ্যা নহয়।
- সকলো পৰিমেয় সংখ্যাই বাস্তৱ সংখ্যা কিন্তু সকলো বাস্তৱ সংখ্যাই পৰিমেয় সংখ্যা নহয়।
- সকলো অপৰিমেয় সংখ্যাই বাস্তৱ সংখ্যা কিন্তু সকলো বাস্তৱ সংখ্যাই অপৰিমেয় সংখ্যা নহয়।
MCQ — সংখ্যা প্ৰণালী
1. সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাই ____________।
2. সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাই ____________।
3. সকলো অখণ্ড সংখ্যাই ____________।
4. সকলো পৰিমেয় সংখ্যাই ____________।
5. সকলো বাস্তৱ সংখ্যাই ____________।
6. "সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা"
7. "সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাই স্বাভাৱিক সংখ্যা"
8. "সকলো অখণ্ড সংখ্যাই স্বাভাৱিক সংখ্যা"
9. "সকলো পৰিমেয় সংখ্যাই স্বাভাৱিক সংখ্যা"
10. "সকলো বাস্তৱ সংখ্যাই স্বাভাৱিক সংখ্যা"
11. সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাই ____________ নহয়।
12. সকলো অখণ্ড সংখ্যাই ____________।
13. সকলো পৰিমেয় সংখ্যাই ____________।
14. সকলো বাস্তৱ সংখ্যাই ____________।
15. "সকলো অখণ্ড সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা"
16. "সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাই অখণ্ড সংখ্যা"
17. "সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাই বাস্তৱ সংখ্যা"
18. "সকলো অখণ্ড সংখ্যাই বাস্তৱ সংখ্যা"
19. "সকলো পৰিমেয় সংখ্যাই বাস্তৱ সংখ্যা"
20. "সকলো অপৰিমেয় সংখ্যাই বাস্তৱ সংখ্যা"
গণিতীয় মৌলিক প্ৰক্ৰিয়া (Fundamental Mathematical Operations)
বাস্তৱ সংখ্যাবোৰৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰযোজ্য মৌলিক প্ৰক্ৰিয়া চাৰিটা হ'ল \(+, -, \times, \div\)
এটা যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা \(a\) ৰ ক্ষেত্ৰত পূৰণ প্ৰক্ৰিয়াক সূচক বিধিৰেও প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।
টোকা:
- স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ আদি হ'ল \(1\) (এক)। তাত যোগ প্ৰক্ৰিয়াৰে \(1+1=2,\ 2+1=3,\ 3+1=4\) এইদৰে অফুৰন্ত স্বাভাৱিক সংখ্যা পাওঁ। সেয়ে সংখ্যা \(1\) অক স্বাভাৱিক সংখাৰ জনক বোলা হয়।
- অখণ্ড সংখ্যাৰ \(2, 4, 6, \ldots\) আদি সংখ্যাবোৰৰ আৰ্হি \(2m\) (2ৰ গুণিতক)। গতিকে ইহঁতক নাম দিয়া হ'ল যুগ্ম, য'ত \(m\) হ'ল এটা অখণ্ড সংখ্যা।
- অখণ্ড সংখ্যাৰ যুগ্ম সংখ্যাবোৰ বাদ দিলে বাকী থকাবোৰ অযুগ্ম সংখ্যা। সিহঁতৰ সাধাৰণ প্ৰকাশৰাশি \(2m+1\)
- এটা অখণ্ড সংখ্যাক দুটা বা ততোধিক সংখ্যাৰ পূৰণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। ইহঁতক মূল সংখ্যাৰ উৎপাদক (Factor) বোলে। যি সংখ্যাৰ উৎপাদক কেৱল \(1\) আৰু সংখ্যাটো নিজে, তেন্তে সংখ্যাটোক মৌলিক সংখ্যা বোলা হয়।
যেনে: \(2 = 1 \times 2;\quad 5 = 5 \times 1;\quad 11 = 11 \times 1\) ইত্যাদি।
\(1 = 1 \times 1\), \(1\) ৰ উৎপাদক \(1\) আৰু সি নিজেই, তৎসত্ত্বেও \(1\) মৌলিক সংখ্যা নহয় কাৰণ ইয়াৰ উৎপাদক দুটা পৃথক নহয়। - \(2\) হ'ল একমাত্ৰ যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা। বাকীবোৰ অযুগ্ম।
- দুটা সংখ্যাক সহমৌলিক (co-prime) বোলা হয় যদি সিহঁতৰ সাধাৰণ উৎপাদক কেৱল \(1\)।
MCQ — মৌলিক প্ৰক্ৰিয়া
1. স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ আদি সংখ্যা হ'ল-
2. সংখ্যা 1 ক _______ ৰ জনক বুলি কোৱা হয়।
3. যুগ্ম সংখ্যা হ'ল-
4. যুগ্ম সংখ্যাৰ সাধাৰণ আৰ্হি হ'ল-
5. যুগ্ম সংখ্যাৰ উদাহৰণ হ'ল-
6. অযুগ্ম সংখ্যাৰ সাধাৰণ আৰ্হি হ'ল-
7. কেতিয়া সংখ্যা এটা অযুগ্ম হয়?
8. মৌলিক সংখ্যাৰ উৎপাদক কিমান?
9. কোনটো মৌলিক সংখ্যা?
10. মৌলিক সংখ্যাৰ উদাহৰণ হ'ল-
11. কোনটো সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা নহয়?
12. 1 কেনেকুৱা সংখ্যা?
13. 1 ৰ উৎপাদক কিমান?
14. একমাত্ৰ যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা হ'ল-
15. 2 ৰ বাদে বাকী মৌলিক সংখ্যাবোৰ কেনেকুৱা?
16. সহমৌলিক সংখ্যাৰ সংজ্ঞা হ'ল-
17. 1 কিয় মৌলিক সংখ্যা নহয়?
18. কোনটো সংখ্যা যুগ্ম নহয়?
19. 5 কেনেকুৱা সংখ্যা?
20. 11 কেনেকুৱা সংখ্যা?
21. কোনটো সংজ্ঞা শুদ্ধ?
22. কোনটো যুগ্ম সংখ্যা?
23. 2 কি?
24. 6 কি?
25. 9 কি?
শতকৰা আৰু সুত (Percentage and Interest)
শতকৰা শব্দটোৱে কয় প্রতি এশত কিমান। তাৰ বাবে প্রতীক হ'ল %।
Class 7 — Chapter 8: Revision
Exercise R-1 (অনুশীলনী R-1)
1. বৰ্গমূলৰ দ্বাৰা \(\sqrt{2}\) ৰ আনুমানিক মান দুই দশমিক স্হানলৈ উলিওৱা।
\[ \sqrt{2} \approx 1.41 \]
2. দুটা অপৰিমেয় সংখ্যা লিখা যাৰ যোগফল পৰিমেয় আৰু পুৰণফল পৰিমেয়।
3. সংখ্যা ৰেখাত \(-5\) আৰু \(5\) অৰ মধ্যৱৰ্তী অখণ্ড সংখ্যাবোৰ লিখা।
4. সূচক বিধি \( a^m = a^n \) অত \( m=n \) লৈ প্রমাণ কৰা যে \( a^0 = 1 \)
দিয়া আছে, \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)
যদি \( m=n \), তেন্তে \( a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0 \)
কিন্তু \( a^m \div a^m = 1 \) (যেকোনো অশূন্য সংখ্যাক নিজেই হৰণ কৰিলে ১ হয়)
∴ \( a^0 = 1 \)
5. সূচক বিধি \( a^m \div a^n = a^{m-n} \) অত \( m=0 \) লৈ প্ৰমাণ কৰা যে \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
দিয়া আছে, \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)
যদি \( m=0 \), তেন্তে \( a^0 \div a^n = a^{0-n} = a^{-n} \)
কিন্তু \( a^0 \div a^n = \dfrac{1}{a^n} \) (কাৰণ \( a^0=1 \))
∴ \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
6. তলৰ যোৰৰ প্ৰত্যেকেৰে মৌলিক উৎপাদক, গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু. থিৰ কৰা।
সমাধানঃ
\( 321 = 3 \times 107 \)
\( 396 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11 \)
∴ গ.সা.উ. (321, 396) = \(3\)
∴ ল.সা.উ. (321, 396) \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11 \times 107 = 4 \times 9 \times 11 \times 107 = 42372 \)
(ii) 455, 42
সমাধানঃ
\( 455 = 5 \times 7 \times 13 \)
\( 42 = 2 \times 3 \times 7 \)
∴ গ.সা.উ. (455, 42) = \(7\)
∴ ল.সা.উ. (455, 42) \( = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13 = 2730 \)
(iii) 408, 170
সমাধানঃ
\( 408 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 17 \)
\( 170 = 2 \times 5 \times 17 \)
∴ গ.সা.উ. (408, 170) \( = 2 \times 17 = 34 \)
∴ ল.সা.উ. (408, 170) \( = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 17 = 2040 \)
7. \( \dfrac{2}{5} \) আৰু \( \dfrac{3}{5} \) ৰ মাজৰ যিকোনো দুটা পৰিমেয় সংখ্যা লিখা।
8. সৰল কৰা: \( \sqrt{10} \times \sqrt{5} \). \( \sqrt{2}=1.41 \) হলে প্ৰদত্ত সংখ্যাৰ আসন্ন মান কি হ'ব।
\[ \sqrt{10} \times \sqrt{5} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \approx 5 \times 1.41 = 7.05 \]
9. আৱৃত দশমিক আৰ্হিৰ ভগ্নাংশত প্রকাশ কৰা:
সমাধানঃ ধৰাহ'ল, \( x = 0.\overline{3} = 0.3333\ldots \)
\( 10x = 3.3333\ldots \) ––––– (1)
\( x = 0.3333\ldots \) ––––– (2)
(1) – (2) ⇒ \( 9x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{1}{3} \)
(ii) \( 0.\overline{6} \)
সমাধানঃ ধৰাহ'ল, \( x = 0.\overline{6} \)
\( 10x = 6.6666\ldots \) ––––– (1)
\( x = 0.6666\ldots \) ––––– (2)
(1) – (2) ⇒ \( 9x = 6 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3} \)
(iii) \( 0.\overline{47} \)
সমাধানঃ ধৰাহ'ল, \( x = 0.\overline{47} \)
\( 100x = 47.4747\ldots \) ––––– (1)
\( x = 0.4747\ldots \) ––––– (2)
(1) – (2) ⇒ \( 99x = 47 \Rightarrow x = \dfrac{47}{99} \)
(iv) \( 0.0\overline{01} \)
সমাধানঃ ধৰাহ'ল, \( x = 0.0\overline{01} \)
\( 1000x = 1.\overline{01} \) ––––– (1)
\( 10x = 0.\overline{01} \) ––––– (2)
(1) – (2) ⇒ \( 990x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{990} \)
10. সৰল কৰাঃ
11. প্রমাণ কৰা যে: \( \sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{a^2} = a \) (টোকা: \( a^{1/3} \times a^{2/3} = a^{(1/3+2/3)} = a^1 = a \))
12. \( \sqrt{3}=1.732,\ \sqrt{2}=1.414 \) ধৰি, তলৰ ৰাশিৰ আসন্ন মান উলিওৱা:
13. হৰণ কাৰ্য নকৰাকৈ তলৰ পৰিমেয় সংখ্যাবোৰক দশমিকত প্ৰকাশ কৰা।
14. তলৰ শতকৰাবোৰক ভগ্নাংশত প্রকাশ কৰা:
সমাধানঃ \( 53\% = \dfrac{53}{100} \)
(ii) 53%
সমাধানঃ \( 53\% = \dfrac{53}{100} \)
(iii)
সমাধানঃ — প্ৰদত্ত ৰাশিক \( \dfrac{x}{100} \) আকাৰত লিখি ভগ্নাংশত প্ৰকাশ কৰিব লাগে।
(iv) 100%
সমাধানঃ \( 100\% = \dfrac{100}{100} = 1 \)
(v) 0.01%
সমাধানঃ \( 0.01\% = \dfrac{0.01}{100} = \dfrac{1}{10000} \)
15. তলৰ ভগ্নাংশবোৰ শতকৰা ৰূপত লিখাঃ
(v) 0.25
সমাধানঃ \( 0.25 = 0.25 \times 100\% = 25\% \)
(vi) 1.25
সমাধানঃ \( 1.25 = 1.25 \times 100\% = 125\% \)
16. কোনো এটা বস্তু 10% লাভত বিক্রি কৰা হ'ল। তাৰ কিনাদাম আৰু বেচাদামৰ অনুপাত কি?
দিয়া আছে, লাভ% = 10%
ধৰাহল, বস্তুটোৰ কিনাদাম = \(x\)
লাভ = \(x\) ৰ 10% \( = \dfrac{10x}{100} = \dfrac{x}{10} \)
বস্তুটোৰ বেচাদাম \( = x + \dfrac{x}{10} = \dfrac{11x}{10} \)
∴ কিনাদাম : বেচাদাম \( = x : \dfrac{11x}{10} = 10 : 11 \)
17. 30 কণীৰ কিনাদাম, 20 টা কণীৰ বেচাদামৰ সমান। লাভৰ শতকৰা হাৰ কি?
ধৰাহল, এটা কণীৰ বেচাদাম = \(x\) টকা
∴ 20 টা কণীৰ বেচাদাম = \(20x\) টকা
প্ৰশ্নমতে, 30 টা কণীৰ কিনাদাম = \(20x\) টকা
∴ 1 টা কণীৰ কিনাদাম \( = \dfrac{20x}{30} = \dfrac{2x}{3} \) টকা
এটা কণীত লাভ = বেচাদাম − কিনাদাম \( = x - \dfrac{2x}{3} = \dfrac{x}{3} \)
শতকৰা লাভ \( = \dfrac{\frac{x}{3}}{\frac{2x}{3}} \times 100\% = \dfrac{1}{2} \times 100\% = 50\% \)
18. এটা বস্তুৰ কিনাদাম 2100 টকা; 10% লাভত বিক্রি হ'লে বস্তুটোৰ বেচাদাম কি?
দিয়া আছে, কিনাদাম = 2100 টকা, শতকৰা লাভ = 10%
লাভ \( = 2100 \times \dfrac{10}{100} = 210 \) টকা
বেচাদাম \( = 2100 + 210 = 2310 \) টকা
19. টকাত 4 টাকৈ নেমু কিনি 20% লাভত বিক্ৰি কৰিলে। এটা নেমুৰ বিক্ৰি মূল্য কিমান হ'ব।
দিয়া আছে, 4 টা নেমুৰ কিনাদাম = 1 টকা
∴ এটা নেমুৰ কিনাদাম \( = \dfrac{1}{4} \) টকা
শতকৰা লাভ = 20%
এটা নেমুৰ বিক্রি মূল্য \( = \dfrac{1}{4} \times \left(1+\dfrac{20}{100}\right) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} = 0.30 \) টকা
20. এটা বস্তু 500 টকাত বিক্ৰি কৰিলে 5% লোকচান হয়। এইটো কিমান দামত বেচিলে 5% লাভ হ'লহেঁতেন?
দিয়া আছে, বেচাদাম = 500 টকা, শতকৰা লোকচান = 5%
কিনাদাম \( = \dfrac{500 \times 100}{100-5} = \dfrac{500 \times 100}{95} \approx 526.32 \) টকা
5% লাভত বেচাদাম \( = 526.32 \times \dfrac{105}{100} \approx 552.63 \) টকা
∴ বস্তুটো 552.63 টকাত বেছিলে 5% লাভ হ'লহেঁতেন।
21. গ্ৰাহকক আকৰ্ষণ কৰিবলৈ এজন ব্যৱসায়ীয়ে এটা চাৰ্টৰ দামক্ৰমে 10%, 10% আৰু 5% ৰেহাই দিয়ে। তিনিওটাৰ সমতুল ৰেহাই কি হ'ব?
ধৰোঁ, এটা চাৰ্টৰ ছপামূল্য = 100 টকা
প্ৰথম 10% ৰেহাইৰ পিছত দাম \( = 100 \times \dfrac{90}{100} = 90 \) টকা
দ্বিতীয় 10% ৰেহাইৰ পিছত দাম \( = 90 \times \dfrac{90}{100} = 81 \) টকা
তৃতীয় 5% ৰেহাইৰ পিছত দাম \( = 81 \times \dfrac{95}{100} = 76.95 \) টকা
∴ সমতুল ৰেহাই \( = 100 - 76.95 = 23.05\% \)